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Study of the resultant on an algebraic variety
Étude du résultant sur une variété algébrique
CRISAM - Inria Sophia Antipolis - Méditerranée , UNS - Université Nice Sophia Antipolis, CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique : UMR6621
2 JAD - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
1 GALAAD - Geometry, algebra, algorithms
2 JAD - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
Abstract : In this thesis a theoric and practical study of residual resultant is proposed. This residual resultant provides a necessary and sufficient condition so that an algebraic system has solutions on a residual variety obtained by blowing-up. Effective methods to compute this residual resultant as its degree are exposed, more precise results being obtained when the locus that one blows up is a complete intersection or a projective local complete intersection Cohen-Macaulay of codimension two. An algorithm to solve the implicitization problem in case the parametrization has base points which are a local complete intersection is proposed using residual resultant. One also shows how this residual resultant allows to obtain the Chow form of the isolated points of an algebraic system. Finally the last chapter of this thesis gives a definition and a first study of determinantal resultant which traduces a necessary and sufficient condition so that a generic matrix is of rank less or equal to a given positive integer.
Résumé : Dans ce travail de thèse une étude théorique et pratique du résultant résiduel est proposée. Ce résultant résiduel fournit une condition nécessaire et suffisante pour qu'un système algébrique possède des solutions sur une variété résiduelle obtenue par éclatement. Des méthodes effectives pour calculer ce résultant résiduel ainsi que son degré sont proposées, les résultats les plus précis étant obtenus lorsque le lieu que l'on éclate est une intersection complète ou encore une intersection complète locale projective Cohen-Macaulay de codimension deux. Un algorithme pour résoudre le problème d'implicitisation dans le cas ou la paramétrisation possède des points base localement intersection complète est explicité à l'aide du résultant résiduel. On montre également comment ce résultant résiduel permet d'obtenir la forme de Chow des points isolés d'un système algébrique. Enfin le dernier chapitre de cette thèse présente une définition et une première étude du résultant déterminantal qui donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice générique soit de rang inférieur ou égal à un entier positif donné.
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